周向宇院士：《愚公移山》新解

发布时间：2024-01-29

「编者按」“中国古代数学的贡献”一文，作者系周向宇院士。在研究专业数学之余，作者将学习和研究中国古代数学的心得体会与研究成果整理成文，刊发于《数学学报，中文版》2022年第4期。该文阐释与揭示了中国古代数学对华夏文明的贡献，对国学、语言、文化的影响，以及对现代数学的影响与贡献。“数学大院”公众号将陆续以推文呈现，让读者从多方面领略中国古代数学的成就与贡献。

图片来源：永乐大典.卷10270-10271.子字.明嘉靖隆庆间内府重写本.美国亨廷顿图书馆藏本

以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文第四章“《愚公移山》新解”，作者系周向宇院士。

下面谈谈《愚公移山》这个经典寓言故事里包含的数学思想。

我们过去读《愚公移山》的时候都知道这个故事诠释了不怕困难、迎难而上、坚韧不拔、坚持不懈、持之以恒的精神与思想，当然这是最基本的含义。

4.1 愚公与协商精神

除此之外，我认为愚公事实上是开协商之先河。我在全国政协小组发言时，委员们也非常赞同，认为这是一个新解。愚公在移山前，组织大家协商讨论，并不搞一言堂，而是“聚室而谋”；也不搞形式主义，“其妻献疑”，还采纳了妻子的合理建议。所以《愚公移山》生动诠释了有事好商量、众人的事众人商量、不搞形式主义、真协商、协商于决策之前、决策基于科学等协商精神。

4.2 愚公的数学思想

智叟嘲笑愚公不自量力，愚公则回答说：“虽我之死，有子存焉，子又生孙，孙又生子，子又有子，子又有孙，子子孙孙，无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”愚公的回答其实蕴含了深刻的数学思想，前半部分定义了自然数，并且认识到了自然数的加法及其运算规律，有穷与无穷、常量与变量的辩证关系；后半部分则是阿基米德原理。所以说，愚公的移山决策不是主观决策，而是基于数学原理的。

4.3 愚公子孙模型

愚公回答的前半部分，定义了自然数及其加法，也认识到了自然数的无穷性。我们来构建自然数的愚公子孙模型。愚公子孙的辈分集与自然数集构成了一一对应(对辈分集可自然引进加法与减法)，并且这个对应保持代数运算。这里的辈分集是愚公子孙的等价类所构成的集合，愚公的两个后代称为等价，当且仅当这两个后代是同一辈分。假设愚公本人对应于，其子辈对应于，其孙辈(即子之子辈)对应于

依次类推，可以定义自然数的后继数：设愚公某后辈对应于，则该后辈的子辈对应于。往后数辈分得加法，往前溯辈分得减法。

我们用愚公子孙模型来表述加法交换律。对应于子辈之孙辈，即曾孙辈，而对应于孙辈之子辈，也是曾孙辈，所以

一般地，愚公世孙之世孙，也是愚公世孙之世孙，这样就得到交换律。用愚公子孙模型也可以阐释加法结合律。考虑三个数相加，前两者相加可得，后两者相加则得。已经证明，故

这就是结合律。

习知，19世纪末皮亚诺提出(5条)皮亚诺公理来构造自然数的算术系统。在我看来，愚公子孙模型更加简介、生动和自然，只需两个公理：

(1)存在始祖愚公。

(2)愚公家族血脉流淌，即愚公家族的任一辈(代)均有子辈。

这个模型反映了自然数作为基数与序数的特点。这个模型蕴含归纳公理，反映了数学归纳法原理，一个关于愚公家族的命题对世世代代(所有辈分)都成立，只需：1、命题对愚公成立；2、若命题对愚公家族某代成立，则对其子辈也成立。比如愚公家族世世代代爱劳动，只需知道：1、愚公爱劳动；2、若愚公家族某一辈爱劳动，则其子辈也爱劳动。

4.4 愚公原理

愚公说：“子子孙孙，无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”假设太行、王屋二山的土石方量为，假设愚公家族每一代能挖的土石方量至少为。非常大，但山不加增，所以是一个常数。可能非常小，但它总大于，一代人能挖，代人就能挖。因为子子孙孙无穷匮，是变数，可以趋于无穷大。“何苦而不平”是说，总可以找到自然数，使得

这个结果在教科书里通常被称为阿基米德原理。可见，愚公的思想是深刻的。

4.5 愚公数学思想的扩充

有趣的是，愚公子孙模型还可以扩展为祖孙模型。愚公祖孙的辈分集与整数集构成了一一对应，并且保持代数运算；负数是有意义的，小的数可以减大的数。如何定义负整数和减法呢？愚公对应于，他的父辈对应于，他的祖父(父辈之父辈)则对应于。如果愚公的某祖辈对应于，则该祖辈之父辈对应于，这样就可以定义减法。中国古代数学很早就认识并使用负数，而西方长期不承认负数、认为小数不可以减大数。愚公的孙子的曾祖是愚公之父，对应于，这就是小数减大数，有鲜活的意义。愚公的曾祖的孙子也是愚公之父，对应于，因此交换律仍然成立。结合律的证明同理。

4.6 《愚公移山》的浪漫主义

愚公的坚持不懈感天动地，感动上天。愚公受上天助力，移山成功。小时候读到这时，觉得这是不是迷信。后来做数学，思考数学问题，费时长久，还是未能攻破，但依然久久为功、坚持不懈，到某时不知何故却豁然开朗，灵感出现，终攻破难题，真是天助也。常言道“天道酬勤”也许就是在诠释这种现象吧。

4.7 愚公开辟克难学

我认为愚公开启了计量克难学。记愚公家族到第代的克难量为，则有愚公克难公式

《愚公移山》有现实意义：

例子1：学前儿童面对中学、大学学习内容，犹如愚公碰到大山一样，困难当然很大。可是只要学生在小学、初中、高中各个阶段，每学年、每学期都按部就班完成学习任务，坚持不懈，就能完成学业。

例子2：实现GDP大幅增长的长期宏伟目标，看起来困难很大，但只要我们不怕困难，迎难而上，按部就班完成每年计划、五年规划，坚持不懈，就能实现目标。

愚公克难公式是线性的。愚公的感天动地，可以认为他得到非线性量的帮助，所以这时有

这里是非线性量或突变量。这反映出量变到质变的道理、突变发生现象。

有时困难量不是常量，这时情况复杂。记困难函数为面临的困难量、克难函数为克服困难的力量，它们涉及的变量、因素多。战略上藐视困难：相当于说，困难函数相比于克难函数是无穷小量，可写成，即困难函数与克难函数之比趋于零。为了做到这，就需在战术上重视困难，比如采取措施使困难函数成有界函数，让克难函数成单增无界函数。