中国数学会是中国数学工作者的学术性法人社会团体,是中国科学技术协会的组成部分。中国数学会的宗旨是团结广大数学工作者,为促进数学的发展,繁荣我国的科学技术事业,促进科学技术人才的成长与提高...
周向宇院士:《愚公移山》新解
发布时间:2024-01-29
「编者按」“中国古代数学的贡献”一文,作者系周向宇院士。在研究专业数学之余,作者将学习和研究中国古代数学的心得体会与研究成果整理成文,刊发于《数学学报,中文版》2022年第4期。该文阐释与揭示了中国古代数学对华夏文明的贡献,对国学、语言、文化的影响,以及对现代数学的影响与贡献。“数学大院”公众号将陆续以推文呈现,让读者从多方面领略中国古代数学的成就与贡献。
图片来源:永乐大典.卷10270-10271.子字.明嘉靖隆庆间内府重写本.美国亨廷顿图书馆藏本
以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文第四章“《愚公移山》新解”,作者系周向宇院士。
下面谈谈《愚公移山》这个经典寓言故事里包含的数学思想。
我们过去读《愚公移山》的时候都知道这个故事诠释了不怕困难、迎难而上、坚韧不拔、坚持不懈、持之以恒的精神与思想,当然这是最基本的含义。
4.1 愚公与协商精神
除此之外,我认为愚公事实上是开协商之先河。我在全国政协小组发言时,委员们也非常赞同,认为这是一个新解。愚公在移山前,组织大家协商讨论,并不搞一言堂,而是“聚室而谋”;也不搞形式主义,“其妻献疑”,还采纳了妻子的合理建议。所以《愚公移山》生动诠释了有事好商量、众人的事众人商量、不搞形式主义、真协商、协商于决策之前、决策基于科学等协商精神。
4.2 愚公的数学思想
智叟嘲笑愚公不自量力,愚公则回答说:“虽我之死,有子存焉,子又生孙,孙又生子,子又有子,子又有孙,子子孙孙,无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”愚公的回答其实蕴含了深刻的数学思想,前半部分定义了自然数,并且认识到了自然数的加法及其运算规律,有穷与无穷、常量与变量的辩证关系;后半部分则是阿基米德原理。所以说,愚公的移山决策不是主观决策,而是基于数学原理的。
4.3 愚公子孙模型
愚公回答的前半部分,定义了自然数及其加法,也认识到了自然数的无穷性。我们来构建自然数的愚公子孙模型。愚公子孙的辈分集与自然数集构成了一一对应(对辈分集可自然引进加法与减法),并且这个对应保持代数运算。这里的辈分集是愚公子孙的等价类所构成的集合,愚公的两个后代称为等价,当且仅当这两个后代是同一辈分。假设愚公本人对应于,其子辈对应于,其孙辈(即子之子辈)对应于
依次类推,可以定义自然数的后继数:设愚公某后辈对应于,则该后辈的子辈对应于。往后数辈分得加法,往前溯辈分得减法。
我们用愚公子孙模型来表述加法交换律。对应于子辈之孙辈,即曾孙辈,而对应于孙辈之子辈,也是曾孙辈,所以
一般地, 愚公世孙之世孙,也是愚公世孙之世孙, 这样就得到交换律。用愚公子孙模型也可以阐释加法结合律。考虑三个数相加,前两者相加可得,后两者相加则得。已经证明,故
这就是结合律。
习知,19世纪末皮亚诺提出(5条)皮亚诺公理来构造自然数的算术系统。在我看来,愚公子孙模型更加简介、生动和自然,只需两个公理:
(1)存在始祖愚公。
(2)愚公家族血脉流淌,即愚公家族的任一辈(代)均有子辈。
这个模型反映了自然数作为基数与序数的特点。这个模型蕴含归纳公理,反映了数学归纳法原理,一个关于愚公家族的命题对世世代代(所有辈分)都成立,只需:1、命题对愚公成立;2、若命题对愚公家族某代成立,则对其子辈也成立。比如愚公家族世世代代爱劳动,只需知道:1、愚公爱劳动;2、若愚公家族某一辈爱劳动,则其子辈也爱劳动。
愚公说:“子子孙孙,无穷匮也,而山不加增,何苦而不平?”假设太行、王屋二山的土石方量为,假设愚公家族每一代能挖的土石方量至少为。非常大,但山不加增,所以是一个常数。可能非常小,但它总大于,一代人能挖,代人就能挖。因为子子孙孙无穷匮,是变数,可以趋于无穷大。“何苦而不平”是说,总可以找到自然数,使得
这个结果在教科书里通常被称为阿基米德原理。可见,愚公的思想是深刻的。
4.5 愚公数学思想的扩充
有趣的是,愚公子孙模型还可以扩展为祖孙模型。愚公祖孙的辈分集与整数集构成了一一对应,并且保持代数运算;负数是有意义的,小的数可以减大的数。如何定义负整数和减法呢?愚公对应于,他的父辈对应于,他的祖父(父辈之父辈)则对应于。如果愚公的某祖辈对应于,则该祖辈之父辈对应于,这样就可以定义减法。中国古代数学很早就认识并使用负数,而西方长期不承认负数、认为小数不可以减大数。愚公的孙子的曾祖是愚公之父,对应于,这就是小数减大数,有鲜活的意义。愚公的曾祖的孙子也是愚公之父,对应于,因此交换律仍然成立。结合律的证明同理。
愚公的坚持不懈感天动地,感动上天。愚公受上天助力,移山成功。小时候读到这时,觉得这是不是迷信。后来做数学,思考数学问题,费时长久,还是未能攻破,但依然久久为功、坚持不懈,到某时不知何故却豁然开朗,灵感出现,终攻破难题,真是天助也。常言道“天道酬勤”也许就是在诠释这种现象吧。
我认为愚公开启了计量克难学。记愚公家族到第代的克难量为,则有愚公克难公式
《愚公移山》有现实意义:
例子1:学前儿童面对中学、大学学习内容,犹如愚公碰到大山一样,困难当然很大。可是只要学生在小学、初中、高中各个阶段,每学年、每学期都按部就班完成学习任务,坚持不懈,就能完成学业。
例子2:实现GDP大幅增长的长期宏伟目标,看起来困难很大,但只要我们不怕困难,迎难而上,按部就班完成每年计划、五年规划,坚持不懈,就能实现目标。
愚公克难公式是线性的。愚公的感天动地,可以认为他得到非线性量的帮助, 所以这时有
这里是非线性量或突变量。这反映出量变到质变的道理、突变发生现象。
有时困难量不是常量,这时情况复杂。记困难函数为面临的困难量、克难函数为克服困难的力量,它们涉及的变量、因素多。战略上藐视困难:相当于说,困难函数相比于克难函数是无穷小量,可写成,即困难函数与克难函数之比趋于零。为了做到这,就需在战术上重视困难,比如采取措施使困难函数成有界函数,让克难函数成单增无界函数。
[1] 毛泽东, 改造我们的学习, 毛泽东选集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.
[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.
[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.
[4] 吴文俊, 对中国传统数学的再认识, 百科知识, 1980年第7--8期.
[5] 程贞一, 闻人军, 周髀算经译注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.
[6] 卡尔·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅兹巴赫(Uta C. Merzbach)修订, 数学史(修订版), 中央编译出版社, 2012.
[7] 吴文俊主编, 世界著名数学家传记, 花拉子米, 北京: 科学出版社, 1995.
[8] 李文林, 数学史概览, 北京: 高等教育出版社, 2000.
[9] 中国大百科全书,数学卷, 数学编辑委员会主任: 华罗庚, 苏步青, 北京: 中国大百科全书出版社, 1992.
[10] 周易、老子、墨子、列子、庄子、孟子、荀子、管子、韩非子、左传、淮南子、贞观政要, 中华经典名著全本全注全译丛书, 北京: 中华书局, 2010--2019.
原文载于《数学学报,中文版》2022年第四期,由编辑部授权转载。
数学会奖项
钟家庆奖
钟家庆教授生前对祖国数学事业的发展极其关切
钟家庆教授生前对祖国数学事业的发展极其关注,并为之拚搏一生。为了纪念并实现他发展祖国数学事业的遗愿,数学界有关人士于1987年共同筹办了钟家庆基金,并设立了钟家庆数学奖,委托中国数学会承办。
关注微信
扫描二维码关注