丁石孙:数学的力量

发布时间:2019-10-15

编者按:惊闻丁石孙先生不幸离世,深表悲痛!丁先生是著名的数学家和教育家,对中国数学的发展做出了重要贡献,是我们永远学习的楷模和典范。今天,重新回忆丁先生的《数学的力量》,让我们深深缅怀丁石孙先生。丁先生永垂不朽!


数学的力量



数学的作用不局限于它是一门知识,更不仅仅是工具,在整个教育过程中,数学对人才的培养具有很重要的作用。哪个学科一旦与数学的某个问题挂钩,往往就能够得到一个飞跃的发展,这方面的例子很多。20世纪80年代,Hauptmann获得诺贝尔化学奖,解决的是如何用X光确定晶体结构的问题。Hauptmann曾经说过:我的化学水平就是在大学念了半年普通化学,其他我不懂。实际上,他解决用X光确定晶体结构的问题主要靠的是数学。数学往往能够对不同的学科起作用,但是,对什么学科起作用,以什么样的方式起作用,并不是人们事先能够预料的。

从科学发展来看,数学和许多学科都发生过密切的关系,数学的发展和许多学科的发展都起着相辅相成的作用——或者是数学的发展促进了其他学科的发展,或者是其他学科向数学提出了一些具体问题,反过来推动了数学的发展。


有人说,数学是科学的王后。这个说法很多数学家都不赞成。数学并不是孤立于其他学科高高在上的,而是和其他学科相辅相成,共同促进,共同发展的。把数学与其他学科的关系说成是一种伙伴关系也许更恰当一些。

从历史的发展看,数学对于推动科学的发展起了什么作用呢?

先来看看计算机设计思想的产生。大家知道,世界上第一台计算机出现在1946年。计算机最早设计思想的提出可以追溯到20世纪初。1900年,数学家Hilbert在世界第二次数学家大会上提出了23个问题——— 这件事学数学的人都知道。这23个问题一方面总结了19世纪数学的发展,同时指出了20世纪数学应该向哪些方面发展,对于20世纪的数学研究产生了很大影响。

在这23个问题中有一个问题是:有没有一个方法,能够判断一个整系数的多元多项式组有没有有理数解,或者有没有整数解。按照数学的语言来说,就是能不能有个算法。这个问题引起了一部分数学家的注意,希望有一个明确的回答。但是,经过了30多年,人们逐渐发现这个算法是没有的。在数学里,要证明“有”在某种程度上比较容易,要证明有,你就要给出一个算法,用这个算法就能判断。但是,你要说“没有”,就需要说明什么叫算法。可以说算法是很死的方法,当然这不是严格的数学语言,但人们通常可以理解。如果你要证明这样的东西是不存在的,仅靠这样理解还不行。以,直到1936年前后,才有数学家给算法下了定义。

科学发展中常常会出现种奇怪的现象,那就是一个问题经过很多年不能解决,但到了某一个时候,同时好几个人以不同的方式解决了这个问题。给算法下定义的问题也是如此。1936年前后,有几个人给出了算法的定义。其中有一种算法的定义, 现在叫做Turing机器。Turing机器是个理想的计算机,它已经比较接近现在计算机的设计思想。可以说Turing机的定义,就是后来的计算机设计思想的重要来源。从这里可以看出,一开始提出来的是一个纯数学的问题,根本没想到设计计算机。但是你要解决这个问题就必须给算法下个定义。现在能发生这么大作用的计算机,根源是一个数学问题,而且研究这个数学问题事先根本没想到会产生这么大影响。这个例子说明,从一个纯数学问题出发进行研究,结果不仅解决了数学问题,而且对其他学科产生了重要影响。

又如“群论”。现在搞数学的都知道群是个什么概念。但群的定义的出现,是20世纪50年代的事,最早是从解方程出来的。大家知道解一元二次多项式,它的解是所谓根号,这个问题大约在2000年前人们就知道,大家已在初等数学中学过。这里有一个有趣的过程:要把根通过系数表达出来。二次方程解决了,很容易就会想到三次怎么样,就是一元二次方程有没有类似的公式。差不多到15世纪,二次方程就解出来了,那个公式就非常复杂了。不久解四次方程的公式也出来了。数学家有个癖好,就老想推广,既然二次的公式有了,三次的公式有了,四次的公式也有了,那么五次怎么样?大家就想五次也应该有,可是没想到在五次方程这个问题上遇到了很大的问题,差不多经过了几百年,一直到19世纪开始都没能解决这个问题。19世纪30年代,法国有个叫Galois的年轻数学家,就提出了一个Galois 理论:就是他给出了一个方法,能够判定多少次方程的根能够用系数表达出来。所谓表达出来,就是用加减乘除和开方(不一定开平方)表达出来。这样的话,就提出了群的概念,这个问题最终是用群的方法解决的。开始这个结果被送到法国科学院,科学院里一个很重要的科学家认为是胡说八道,所以就一直没人理睬。一直到19世纪50年代才正式发表出来,这样群的概念就提出来了。Galois的这个结果在20年之后才得到承认。

群的概念纯粹是从一个数学问题提出,但提出之后,首先用来解决的是化合物中晶体究竟有几种的问题。在19世纪末至20世纪初,俄国的化学家就利用群的概念解决了晶体结构有多少种。群的概念实际上是对称性的一个很好的度量,可以解决对称性用什么来度量,也就是它的变换群是什么结构,有多少。这又是一个纯粹从数学里提出的问题,但用处远远超出了数学的例子。数学中这样的例子还可以举出很多。

下面这个例子,说明了实际的需要是怎样促进数学的发展的。第二次世界大战时,德国的空军力量很强,飞机数量多,质量也好。为了解决如何以处于劣势的空军打败德国空军的问题,美国找了一批数学家,冯·诺依曼是其中之一。结果冯·诺依曼通过研究这个问题发现了博弈论。近几十年来,博弈论很重要的一个用途是用来研究经济数学,它已发展成为经济数学不可缺少的基础。

数学研究的对象究竟是什么呢?这个问题很不容易说清楚。

过去说的数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出来的,他说数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的。恩格斯这个定义是19世纪提出来的,随着20世纪数学的发展,很多东西用这个定义概括不了。说到数量关系,就是说数学是研究数的运算,但随着数学的发展,数学运算的对象远远超出了数。譬如群论,它运算的对象是群元素。甚至还有其他的,可以说它与运算毫无关系,所以,说数学是研究数量关系,就已经不够了。还有被当时理解为客观世界的空间形式, 就是通常说的三维空间。但是,几何学研究里已经远远超出了三维,涉及到四维、五维、多维,甚至无数维。所以如果再拿19世纪的定义来概括数学就显得不够。

如何给数学下一个定义呢?到现在为止还没有一个定义令人满意。这也说明数学的定义很难下。比如有人提出来,数学是研究量的,把“数”字去掉,他说有“数”呢,就显得太死了,数就是整数、分数。那么什么叫量呢?所谓量是一个哲学概念。现在有人说数学研究的是秩序,也就是说研究数学的目的是为了给世界以秩序,这种说法不是数学语言。想想也有点道理,但是也说不太清楚。从这里可以看出一条,因为数学的研究对象是抽象的,数学与其他的自然科学和社会科学不一样,这些学科有非常具体的对象,而数学没有。数学之所以既能用到自然科学,又能用到社会科学,甚至人文科学,就是因为它是抽象的。数学研究对象的抽象性首先有一条,就是能够训练人们一种思维方法——抽象思维方法。数学里即使从自然数开始,就已经是非常抽象的概念了,要经过很多层抽象才能够得出数的概念。所以,历史上经过了很长的时间,多数和单数才被人们区分开来。只要研究了数学发展史,就会发现,数的概念的形成是很不容易的。所以,学数学可以训练人的抽象思维能力。

抽象这种思想方法为什么这么重要呢?因为人们要把握住事物的本质,就必须去掉很多不重要的东西,要舍弃很多非本质的东西,就必须通过抽象的思维方式解决。抽象的思想方法对于研究科学,甚至处理日常生活出现的问题都是重要的。如果没有抽象的能力,就不容易分清究竟现在要解决的是什么问题。这是数学突出的特点,即它的抽象性。数学的抽象性使得数学可以广泛地应用于很多方面,即使是完全不同的方面。

第二个特点,因为数学的抽象性,所以对数学对象的定义必须讲得非常清楚。而其他学科对定义的要求就不太一样,一般可以大概描述一下那是个什么东西,听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象,描述是不行的,必须有严格的定义。数学里定义非常重要,这一点大家都能体会到。我在教学中就发现,其他系的老师到数学系讲课,往往遇到一个很大的困难。因为经过一段数学学习,学生什么都问定义,比如物理系的教师来讲课,他讲到“力”,学生就要求给“力”下定义,这非常困难。老师很难用几句话把“力”刻画清楚。不像数学里讲“圆”,就是从一点等距离的轨迹,说得很清楚。

化学里很多东西也都可以通过描述大家就能懂,并且很清楚,不需要下定义。数学为什么对定义有这么严格的要求?就因为它的对象抽象,如果不通过定义把它界定清楚,就没法讨论。所以,数学里要求对概念的描述非常准确。我经常开玩笑说,学数学的人是非常笨的,他听的东西,只要那个定义没说清楚,他就听不懂。在这个意义上说,有它的好处,也有它的坏处。坏处就是,什么都要问定义,也会有问题,并不是所有的东西都可以下定义。所以,数学的第二个特点就是它要求对概念非常准确地刻画。

数学的第三个特点是它的逻辑的严格性。因为它是抽象的,所以它的展开只能靠逻辑,这一点对人们说来也是非常重要的训练, 这可以从平面几何来理解。学了平面几何究竟起什么作用?年轻的时候,也就是念了大学的数学以后,我就宣称平面几何没有用。20世纪50年代,我参加过中学数学的教学改革,我经常说平面几何应该取消。当过几年教员以后,我就发现学过平面几何与没有学过平面几何的学生有一点不一样,就是如果要证明一个问题,学过平面几何的学生很容易接受,没有学过平面几何的学生接受就比较困难。“文革”期间的学生,如果讲证明三角形三个角之和等于180度,他们很多人就会提出来,这么简单的问题还需要证明吗?拿量角器量一下不就行了, 搞得我们的教员啼笑皆非。这就说明,逻辑思维的能力是需要通过一些具体的东西来培养的,平面几何就是培养人们逻辑思维能力的很好的媒介。

数学课有这么三个特点。通过学习数学,能够获得很好的思维习惯和思维方法,在无形中会对人们起作用。数学与其他学科的关系不光是互相促进,重要的一点是,数学给人的不只是知识,而且是思维方法,数学实际上是文化的一部分。数学是理性和思维的典型,数学的上述三个特点都是关于理性思维的。

数学还是文化的一部分。在中国的传统文化里, 理性思维是不太受重视的。有人举例说,文艺复兴以后,西方很多哲学家都喜欢搞哲学体系,这是他们的习惯。这个习惯好还是不好,另当别论。中国就很不相同,中国很重要的典籍《论语》是语录体。里边很多话是警句,把要点指出来,并没有论述,也不需要论述,你一听就有所体会。这就反映了中国的思维习惯。中国传统的数学书有个特点,就是里面都是例子。比如数学里很重要的理论孙子剩余定理,在中国数学书里孙子剩余定理就是告诉你三三数之余几,五五数之余几,七七数之余几,它编了个口诀,根据这个口诀一算,结果就出来了。它既没有证明,也没有形成一个体系,这是中国数学的一个特点,也是中国文化的一个特点。

数学是文化的一部分,数学中体现的是一种思维的模式,数学学习也是训练人的逻辑思维能力的一种重要方式。过去我们在教学改革中曾经提出,通过上逻辑课直接获得逻辑思维能力,在中学还专门开了形式逻辑课,但最后证明效果很差。关于逻辑思维的一些规律讲了半天学生也听不懂,更不会用。后来才承认人的逻辑思维能力是不能通过上逻辑课来培养的。平面几何最大的好处,是它的内容非常直观,通过平面几何这个载体可以有效地培养人的逻辑思维能力。数学理论逻辑非常严密,人们无法把逻辑从具体内容中抽出来单独讲,这样谁也听不懂,也学不会。通过数学的学习,逻辑思维的能力慢慢就提高了。数学是文化的一部分,通过数学的学习,可以培养人的能力,也可以提高人的素质。

数学知识可以分两种,一种是比较基础的,一定要学通;还有一种属于提高的, 这些等到要用的时候再学还来得及。比如十几年前,大家都感到计算机的用途前景广阔,于是就学习计算机语言。计算机语言要学一点,但是后来的经验是,语言学多了也没有用。语言有个特点,学了不用很快就会忘记。还有一点就是计算机技术发展很快,计算机与人的关系越来越近,学起来也很容易。

概括起来说,数学不只是知识,它同时培养人的能力,提高人的素质。素质说起来就虚一点。有的同志经常说数学是美的享受,这话我就不大懂。你说数学很美,有些时候你是可以说它非常美,但我就不大体会这个美的享受对我有多大作用。数学是美的享受,这话可以说,但不能过分夸大。不管怎么说,数学是一门很特殊的科学,它能给人一种无形中的影响。

记住一位数学家讲过这样一句话:今天数学教育的质量,决定着我们明天科学人才的水平。(责任编辑:徐雁)


*文章来源:《安徽科技》2002年第10期

数学会奖项

华罗庚奖

华罗庚奖

华罗庚先生是我国著名数学家

华罗庚先生是我国著名数学家,他热爱祖国,献身科学事业,一生为发展我国的数学事业和培养人才做出了卓越贡献。

陈省身奖

陈省身奖

陈省身教授是一位国际数学大师

国际数学大师陈省身教授是美籍华裔数学家、中国科学院外籍院士。他非常关心祖国数学事业的发展,几十年来在发展我国数学事业、培养数学人才等方面做了大量工作。

钟家庆奖

钟家庆奖

钟家庆教授生前对祖国数学事业的发展极其关切

钟家庆教授生前对祖国数学事业的发展极其关注,并为之拚搏一生。为了纪念并实现他发展祖国数学事业的遗愿,数学界有关人士于1987年共同筹办了钟家庆基金,并设立了钟家庆数学奖,委托中国数学会承办。

扫描二维码关注数学会

关注微信

扫描二维码关注

京ICP备17012431号   京公网安备 110402430128号 版权所有:中国数学会  法律法规 | OA/ERP系统