中国古代数学的贡献|1 算筹记数

发布时间:2024-01-10

「编者按」“中国古代数学的贡献”一文,作者系周向宇院士。在研究专业数学之余,作者将学习和研究中国古代数学的心得体会与研究成果整理成文,刊发于《数学学报,中文版》2022年第4期。该文阐释与揭示了中国古代数学对华夏文明的贡献,对国学、语言、文化的影响,以及对现代数学的影响与贡献。“数学大院”公众号将陆续以推文呈现,让读者从多方面领略中国古代数学的成就与贡献。

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以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文,作者系周向宇院士。


1.1 记数与运算问题


我们先从自然数谈起。人类在数学上的发展,首先源于对自然数的认知。自然数作为基数与序数反映了一一对应、顺序、大小等思想。在远古时期,人们需要用各种办法来计数狩猎的收获。在远古中国,我们结绳计数,而在其他文明,也有垒石计数的(微积分calculus一词的前词根原意就是卵石之意,引申为垒石计数、计算术)。再到后来,人们采用书契(书写符号)来计数、表示数目,正如《周易·系辞下》所说:“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。我认为,人类所碰到的最早、最重大的数学问题,便是记数问题及其运算问题:如何用少量、简洁的符号来表示所有的数,以及如何对它们进行运算?


1.2 十进位值制思想


中国在十进位值制上作出了突出的贡献,十进制、十进位值制的出现,和生产力的发展、人口的增长、生活与劳动的需要等是密切相关的:捕获的猎物增多了,人口也增加了,用结绳或垒石来计数,已经不适应于生产力发展的需求,所以才逐步发展出了十进制、十进位值制。在商代的甲骨文中,出现了叁万多的大数,这里除了有符号表示一至九外,还有符号来表示十、百、千、万这些数。到了周朝,十进位值制思想得到发展,建立了以筹记数的方法,除了有数字(表示数目一至九的符号,零用空位、后来发展为用   ⃝ 表示),关键是还引进了数位(数字的位置),表示十、百、千、万等符号可以省略了,通过数字的不同位置来表达它们的含义,这样符号更少、更简洁了。到了春秋战国时期,十进位值制在中国已经非常普遍。“筹”和“算”经常出现在东周时期的许多文献里,如《仪礼》, 《老子》,《孙子》,《荀子》,《管子》,而且,“数”作为主要学习内容是西周六艺“礼、乐、射、御、书、数”教育之一,这在《礼记·内则》有记载。


古代中国通过用“筹”来计数引进十进位值制。比如《墨子·经下》说:“一少于二而多于五”,即“一”在个位数时小于“二”,但在十位数时却大于“五”;《墨子·经说下》提到:“一:五有一焉;一有五焉:十,二焉”,说的就是位值制。虽然秦朝焚书坑儒------刘徽给《九章算术》作注时指出,秦朝焚毁了很多书籍,导致各类经书残缺不全(“往者暴秦焚书,经术散坏”),这也是他写《九章算术注》的一个因素,但公元四、五世纪的《孙子算经》仍把算筹记数的方式表达得非常明确:“凡算之法,先识其位,一从十横,百立千僵,千十相望,万百相当”。也就是说,记数的方法,首先要判断数字的位置,个位用纵式,十位是横式,百位又用纵式,千位又是横式,就这样纵横相间地用算筹来记数。用纵式和横式符号来表示自然数1至9的方式可见图1。以2014的算筹记法为例:从右往左,个位用纵式的4,十位用横式的1,百位是零使用空位,千位又用横式的2,见图。这显然是十进位值制思想,是对上述记数问题的一个回答。


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1.3 十进位值制的评述

关于“十进位值制”,拉普拉斯曾评价道:从印度人那里,我们学到了用10个字母来表示所有数的聪明办法,这个聪明办法,除了赋予给每个符号以一绝对的值以外,还赋予了一个位置的值,这是一种既精致又重要的想法。这种想法看起来如此简单,而正因为如此简单,我们往往并未能足够认识它的功绩。但是,正由于这一方法的无比简单,以及这一方法对所有计算的无比方便,使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的。至于创造这种方法是多么困难,则只要看看下面的事实就不难理解。这个事实是:这一发明甚至逃过了阿基米德与阿波罗尼斯的天才,而他们是古代两位最伟大的人物 (见文[2])。


《普林斯顿数学指南》中条目“十进位值制”(decimal place value system)(见文[3])指出,印度人大约在公元五世纪使用十进位值制,然而成书于公元四世纪的《孙子算经》就已经很明确地阐明了十进位值制。更遑论“筹”、“算”已广泛见于先秦经典,而“筹”、“算”的首要目的就是计数。后来注意到,吴文俊先生其实更早就意识到了这个问题,他说十进位值制思想最早的创立者应将拉普拉斯说的“印度人”改为“中国人”[4]。吴先生对中国数学史有重要贡献。


国际上也开始逐渐地承认[6],是中国最早创立了十进位值制,并且在公元前几个世纪,也就是在印度采用位置记数法的很久之前,就已开始使用,是当时最先进的记数系统。


现今沿用印度-阿拉伯数字的记数系统,思想和方法与中国古代十进位值制是一样的,但符号更简洁、表述更方便,进一步回答了上面提到的人类遇到的最古老的记数问题。这里,印度-阿拉伯数字作出了贡献。现今十进位值制记数系统在欧洲进而在全球普及离不开Stevin,Napier,Vieta等人的贡献。可见,数学思想的简要表述对数学发展也是十分重要的。


1.4 中国古代数学


《汉书·律历志》明确地提到了我国古代数学的诸多方面:推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量,探赜索隐、钩深致远。其中,“赜”的意思是深奥、幽深、玄妙、精妙。“探赜索隐、钩深致远”阐明了科学研究的真谛,把科学研究的对象、内容与方式以及目标与意义都讲清楚了。作科学研究就是探赜索隐、钩深致远。另外,这里提到的规矩、权衡、准绳、嘉量都属于数学,包括数学的测量工具及其用途,比如规是画圆的工具,矩是画方的工具,准绳是量平、画直线的工具,权衡是量轻重的工具。另外还有钩,做曲线用。


筹算也是我国古代数学的一个重要组成部分。所谓的“筹”(有时又称“策”、“筹策”、“算筹”),是指用竹、木、铁、玉、兽骨、象牙等各种材质制成的小棍。另外,还有用于盛(chéng)装它们的算筹袋和算子筒。在做筹算时,将算筹从算袋中取出,放在桌上、炕上或地上等进行摆弄、运算。


参考文献

[1] 毛泽东, 改造我们的学习, 毛泽东选集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吴文俊, 对中国传统数学的再认识, 百科知识, 1980年第7--8期.

[5] 程贞一, 闻人军, 周髀算经译注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡尔·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅兹巴赫(Uta C. Merzbach)修订, 数学史(修订版), 中央编译出版社, 2012.

[7] 吴文俊主编, 世界著名数学家传记, 花拉子米, 北京: 科学出版社, 1995.

[8] 李文林, 数学史概览, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中国大百科全书,数学卷, 数学编辑委员会主任: 华罗庚, 苏步青, 北京: 中国大百科全书出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、庄子、孟子、荀子、管子、韩非子、左传、淮南子、贞观政要, 中华经典名著全本全注全译丛书, 北京: 中华书局, 2010--2019.


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原文载于《数学学报,中文版》2022年第4期,由编辑部授权转载。

来源:数学大院

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