中国古代数学的贡献

中国古代数学的贡献｜1 算筹记数

发布时间：2024-01-10

「编者按」“中国古代数学的贡献”一文，作者系周向宇院士。在研究专业数学之余，作者将学习和研究中国古代数学的心得体会与研究成果整理成文，刊发于《数学学报，中文版》2022年第4期。该文阐释与揭示了中国古代数学对华夏文明的贡献，对国学、语言、文化的影响，以及对现代数学的影响与贡献。“数学大院”公众号将陆续以推文呈现，让读者从多方面领略中国古代数学的成就与贡献。

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以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文，作者系周向宇院士。

1.1 记数与运算问题

我们先从自然数谈起。人类在数学上的发展，首先源于对自然数的认知。自然数作为基数与序数反映了一一对应、顺序、大小等思想。在远古时期，人们需要用各种办法来计数狩猎的收获。在远古中国，我们结绳计数，而在其他文明，也有垒石计数的(微积分calculus一词的前词根原意就是卵石之意，引申为垒石计数、计算术)。再到后来，人们采用书契(书写符号)来计数、表示数目，正如《周易·系辞下》所说：“上古结绳而治,后世圣人易之以书契”。我认为，人类所碰到的最早、最重大的数学问题，便是记数问题及其运算问题：如何用少量、简洁的符号来表示所有的数，以及如何对它们进行运算？

1.2 十进位值制思想

中国在十进位值制上作出了突出的贡献，十进制、十进位值制的出现，和生产力的发展、人口的增长、生活与劳动的需要等是密切相关的：捕获的猎物增多了，人口也增加了，用结绳或垒石来计数，已经不适应于生产力发展的需求，所以才逐步发展出了十进制、十进位值制。在商代的甲骨文中，出现了叁万多的大数，这里除了有符号表示一至九外，还有符号来表示十、百、千、万这些数。到了周朝，十进位值制思想得到发展，建立了以筹记数的方法，除了有数字(表示数目一至九的符号，零用空位、后来发展为用 ⃝ 表示)，关键是还引进了数位(数字的位置)，表示十、百、千、万等符号可以省略了，通过数字的不同位置来表达它们的含义，这样符号更少、更简洁了。到了春秋战国时期，十进位值制在中国已经非常普遍。“筹”和“算”经常出现在东周时期的许多文献里，如《仪礼》，《老子》，《孙子》，《荀子》，《管子》，而且，“数”作为主要学习内容是西周六艺“礼、乐、射、御、书、数”教育之一，这在《礼记·内则》有记载。

古代中国通过用“筹”来计数引进十进位值制。比如《墨子·经下》说：“一少于二而多于五”，即“一”在个位数时小于“二”，但在十位数时却大于“五”；《墨子·经说下》提到：“一：五有一焉；一有五焉：十，二焉”，说的就是位值制。虽然秦朝焚书坑儒------刘徽给《九章算术》作注时指出，秦朝焚毁了很多书籍，导致各类经书残缺不全(“往者暴秦焚书，经术散坏”)，这也是他写《九章算术注》的一个因素，但公元四、五世纪的《孙子算经》仍把算筹记数的方式表达得非常明确：“凡算之法，先识其位，一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当”。也就是说，记数的方法，首先要判断数字的位置，个位用纵式，十位是横式，百位又用纵式，千位又是横式，就这样纵横相间地用算筹来记数。用纵式和横式符号来表示自然数1至9的方式可见图1。以2014的算筹记法为例：从右往左，个位用纵式的4，十位用横式的1，百位是零使用空位，千位又用横式的2，见图。这显然是十进位值制思想，是对上述记数问题的一个回答。

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1.3 十进位值制的评述

关于“十进位值制”，拉普拉斯曾评价道：从印度人那里，我们学到了用10个字母来表示所有数的聪明办法，这个聪明办法，除了赋予给每个符号以一绝对的值以外，还赋予了一个位置的值，这是一种既精致又重要的想法。这种想法看起来如此简单，而正因为如此简单，我们往往并未能足够认识它的功绩。但是，正由于这一方法的无比简单，以及这一方法对所有计算的无比方便，使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的。至于创造这种方法是多么困难，则只要看看下面的事实就不难理解。这个事实是：这一发明甚至逃过了阿基米德与阿波罗尼斯的天才，而他们是古代两位最伟大的人物 (见文[2])。

《普林斯顿数学指南》中条目“十进位值制”(decimal place value system)(见文[3])指出，印度人大约在公元五世纪使用十进位值制，然而成书于公元四世纪的《孙子算经》就已经很明确地阐明了十进位值制。更遑论“筹”、“算”已广泛见于先秦经典，而“筹”、“算”的首要目的就是计数。后来注意到，吴文俊先生其实更早就意识到了这个问题，他说十进位值制思想最早的创立者应将拉普拉斯说的“印度人”改为“中国人”[4]。吴先生对中国数学史有重要贡献。

国际上也开始逐渐地承认[6]，是中国最早创立了十进位值制，并且在公元前几个世纪，也就是在印度采用位置记数法的很久之前，就已开始使用，是当时最先进的记数系统。

现今沿用印度-阿拉伯数字的记数系统，思想和方法与中国古代十进位值制是一样的，但符号更简洁、表述更方便，进一步回答了上面提到的人类遇到的最古老的记数问题。这里，印度-阿拉伯数字作出了贡献。现今十进位值制记数系统在欧洲进而在全球普及离不开Stevin，Napier，Vieta等人的贡献。可见，数学思想的简要表述对数学发展也是十分重要的。

1.4 中国古代数学

《汉书·律历志》明确地提到了我国古代数学的诸多方面：推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索隐、钩深致远。其中，“赜”的意思是深奥、幽深、玄妙、精妙。“探赜索隐、钩深致远”阐明了科学研究的真谛，把科学研究的对象、内容与方式以及目标与意义都讲清楚了。作科学研究就是探赜索隐、钩深致远。另外，这里提到的规矩、权衡、准绳、嘉量都属于数学，包括数学的测量工具及其用途，比如规是画圆的工具，矩是画方的工具，准绳是量平、画直线的工具，权衡是量轻重的工具。另外还有钩，做曲线用。

筹算也是我国古代数学的一个重要组成部分。所谓的“筹”(有时又称“策”、“筹策”、“算筹”)，是指用竹、木、铁、玉、兽骨、象牙等各种材质制成的小棍。另外，还有用于盛(chéng)装它们的算筹袋和算子筒。在做筹算时，将算筹从算袋中取出，放在桌上、炕上或地上等进行摆弄、运算。

参考文献

[1] 毛泽东, 改造我们的学习, 毛泽东选集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.

[2] Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover Publications, Inc. New York, 1993:70.

[3] Gowers T. (Ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.

[4] 吴文俊, 对中国传统数学的再认识, 百科知识, 1980年第7--8期.

[5] 程贞一, 闻人军, 周髀算经译注, 上海: 上海古籍出版社, 2012.

[6] 卡尔·博耶(Carl B. Boyer)著, 尤塔·梅兹巴赫(Uta C. Merzbach)修订, 数学史(修订版), 中央编译出版社, 2012.

[7] 吴文俊主编, 世界著名数学家传记, 花拉子米, 北京: 科学出版社, 1995.

[8] 李文林, 数学史概览, 北京: 高等教育出版社, 2000.

[9] 中国大百科全书,数学卷, 数学编辑委员会主任: 华罗庚, 苏步青, 北京: 中国大百科全书出版社, 1992.

[10] 周易、老子、墨子、列子、庄子、孟子、荀子、管子、韩非子、左传、淮南子、贞观政要, 中华经典名著全本全注全译丛书, 北京: 中华书局, 2010--2019.